Kamis, 24 Februari 2011

BILANGAN BULAT

A. Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada
Bilangan Bulat

Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang
akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.
Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut,
tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya. Sebenarnya seperti
apa sifat-sifat itu?
Coba perhatikan penjelasan berikut.
1. Sifat Komutatif (Pertukaran)
a. Sifat komutatif pada penjumlahan
 Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3
kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3
kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna
hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi
dan Budi?Perhatikan gambar di samping.
Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah
kelereng Budi.
Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat
komutatif.
Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan
dapat ditulis sebagai berikut.
a + b = b + a
dengan a dan b sembarang bilangan bulat.
6. –9 + . . . = 3 + . . .
7. . . . + (–2) = . . . + 12
8. –30 + . . . = 10 + . . .
9. . . . + (–5) = . . . + 50
10. –70 + . . . = –30 + . . .
4
(–2)
Kelereng Budi:
3 + 5
= 8
Kelereng Andi:
5 + 3
= 8
Gunakan sifat komutatif pada penjumlahan.

b. Sifat komutatif pada perkalian
Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir.
Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik.
Setiap kantong berisi 2 butir.
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik.
Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut.
Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4
= 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat
komutatif pada perkalian.
Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat
ditulis:
a × b = b × a
dengan a dan b sembarang bilangan bulat.
Kelereng Andi:
= 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2
= 8
1. 10 × 5 = 5 × . . .
2. –3 × 2 = 2 × . . . . .
3. 4 × (–10) = . . . × 4
4. –21 × 5 = 5 × . . .
5. –37 × (–10) = . . . × (–37)
6. 40 × . . . = –5 × . . .
7. –29 × . . . = 3 × . . .
8. . . . × (–4) = . . . × 50
9. . . . × (–7) = . . . × (–60)
10. –80 × . . . = –2 × . . .
10
(–3)
1. –10 + 2 = ___ + ___
2. 29 + (–11) = ___ + ___
3. –20 + 50 = ___ + ___
4. 24 + (–40) = ___ + ___
5. –15 + (–25) = ___ + ___
Kerjakan soal-soal berikut.
Gunakan sifat komutatif pada penjumlahan dan perkalian.
6. 10 × 6 = ___ + ___
7. –5 × 9 = ___ + ___
8. 15 × (–3) = ___ + ___
9. –50 × 2 = ___ + ___
10. –30 × (–3) = ___ + ___
Kelereng Budi:
= 4 + 4
= 2 × 4
= 8
+
Gunakan sifat komutatif pada perkalian.
+ +
+
4 Bilangan Bulat
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
1. (2 + (–1)) + 3 = . . . + (–1 + 3)
2. (1 + 2) + (–5) = 1 + (2 + . . . . .)
3. (–2 + 3) + 4 = –2 + (. . . + 4)
4. (5 + (–1)) + (–4) = . . . + (–1 + (–4))
5. (–6 + 2) + (–10) = –6 + (2 + . . . )
6. (20 + (–1)) + . . . = . . . + (–1 + 3)
7. (–5 + . . . ) + 4 = –5 + (25 + . . .)
8. (. . . + (–3)) + 6 = 30 + (. . . + 6)
9. (39 + . . .) + (–10) = 39 + (–5 + (–10))
10. (–45 + 4) + . . . = –45 + (4 + 7)

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
a. Sifat asosiatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I
berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak
II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2
kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng
merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng
putih.
Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan
Budi?
Perhatikan gambar di samping.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama
dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat
asosiatif pada penjumlahan.
Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat
ditulis:
(a + b) + c = a + (b + c)
dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.
Kelereng Andi:
(3 + 2) + 4 = 5 + 4 = 9
+
Kelereng Budi:
3 + (2 + 4) = 3 + 6 = 9
+
2
(–5)
Sifat asosiatif tidak berlaku
pada pengurangan.
Contoh:
(6 – 3) – 2 = 3 – 2 = 1
6 – (3 – 2) = 6 – 1 = 5
Jadi, (6 – 3) – 2 ≠ 6 – (3 – 2).

b. Sifat asosiatif pada perkalian
Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi
3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi
4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk
menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus.
Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap
bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap
kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak
kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4.
Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama.
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif
pada perkalian.
Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat
ditulis:
(a × b) × c = a × (b × c)
dengan a, b, dan c bilangan bulat.
1. (2 × 4) × 3 = 8 × . . . = . . . .
2 × (4 × 3) = . . . × 12 = . . .
Jadi, (2 × 4) × 3 = . . . × (4 × 3).
2. (4 × 5) × 8 = . . . × 8 = . . .
4 × (5 × 8) = 4 × . . . = . . .
Jadi, (4 × 5) × . . . = 4 × (. . . × . . .)
3. (4 × (–3)) × 6 = 4 × (. . . × 6)
4. (5 × (–2)) × 4 = 5 × (–2 × . . .)
5. (–3 × 2) × 8 = . . . × (2 × . . .)
6. (–4 × (–6)) × 10 = . . . × (–6 × . . .)
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4
= 24 butir
+ × 4
����������������������
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4)
= 24 butir
× 2
+
����������������������
+
Gunakan sifat asosiatif pada perkalian.
3 24
2
6 Bilangan Bulat
1. (50 + (–5)) + (–3) = ___ + (–5 + ___)
2. (___ + (–60) + ___ = 65 + (–60 + (–3))
3. (55 + (–30)) + 6 = ___ + (___ + 6)
4. (–39 + ___) + ___ = ___ + (32 + (–4))
5. (45 + ___) + (–9) = ___ + (27 + ___)
Kerjakan soal-soal berikut.
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan dan perkalian.
6. (2 × 6) × 4 = ___ × (6 × 4)
7. (–3 × 2) × 5 = ___ × (2 × 5)
8. (4 × (–5)) × 2 = ___ × (___ × ___)
9. (–3 × (–2)) × 6 = ___ × (___ × ___)
10. (5 × (–4)) × (–3) = ___ × (___ × ___)

3. Sifat Distributif (Penyebaran)
Perhatikan contoh berikut.
a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6)
Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah
kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian
hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3).
3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30.
Mengapa cara ini digunakan.
Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah
daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).
b. 15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka
yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan
dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya
dijumlahkan.
15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
= 150 + 30
= 180
▲ ▲

Angka pengali disatukan
3 × 4 dan 3 × 6
mempunyai angka
pengali yang sama,
yaitu 3

15 × (10 + 2) mempunyai
angka pengali 15

Angka pengali dipisahkan
▲ ▲


Kedua contoh di samping
merupakan penjumlahan
yang menggunakan sifat
distributif.
Benarkah bahwa (5 × 13)
– (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?
(5 × 13) – (5 × 3) mempunyai
angka pengali yang sama,
yaitu 5.
Angka pengali disatukan
menjadi 5 × (13 – 3).
Diperoleh:
(5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3)
Contoh di atas merupakan
pengurangan dengan sifat
distributif.
Gemar Matematika V SD/MI 7
Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan
karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30
lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2)
= 15 × 12.
Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat
distributif pada penjumlahan dan pengurangan.
Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan
pengurangan dapat ditulis:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
dengan a, b, dan c bilangan bulat.
1. (4 × 17) + (4 × 3) = 4 × (17 + . . .)
2. (–3 × 9) + (–3 × 11) = . . . . × (9 + 11)
3. (–2 × 37) + (–2 × 13) = –2 × (. . . + 13)
4. 5 × (10 + 8) = (5 × . . .) + (5 × . . .)
5. 8 × (25 + 11) = (. . . × 25) + (8 × . . .)
6. (4 × 17) – (4 × 7) = 4 × (17 – . . .)
7. (–2 × 74) – (–2 × 49) = . . . × (74 – 49)
8. (–6 × 53) – (–6 × 28) = . . . × (. . . – 28)
9. 5 × (30 – 12) = (5 × . . .) – (5 × . . .)
10. 8 × (50 – 5) = (. . . × 50) – (8 × . . .)
Kerjakan soal-soal berikut.
Gunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.
1. (3 × 63) + (3 × 17)
= ___ × (___ + ___)
2. (–5 × 21) + (–5 × 19)
= ___ × (___ + ___)
3. (–4 × 46) + (–4 × 14)
= ___ × (___ + ___)
4. 5 × (20 + 12)
= (___ × ___) + (___ × ___)
3
–3
Hasil pengerjaan ruas kiri:
(–3 × 9) + (–3 × 11)
= –27 + (–33)
= –60
Hasil pengerjaan ruas kanan:
–3 × (9 + 11)
= –3 × 20
= –60
Hasil pengerjaan kedua
ruas sama.
Begitu juga pengurangan di
bawah ini menggunakan
sifat distributif.
12 × (20 – 5)
= (12 × 20) – (12 × 5)
12 × (20 – 5) mempunyai
angka pengali 12.
Angka pengali dipisahkan
menjadi (12 × 20) – (12 × 5).
8 Bilangan Bulat
5. –6 × (30 + 5)
= (___ × ___) + (___ × ___)
6. (7 × 85) – (7 × 15)
= ___ × (___ – ___)
7. (–9 × 59) – (–9 × 19)
= ___ × (___ – ___)
8. (–11 × 29) – (–11 × 18)
= ___ × (___ – ___)
9. 15 × (40 – 4)
= (___ × ___) – (___ × ___)
10. –12 × (50 – 5)
= (___ × ___) – (___ × ___)
4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif,
dan Distributif
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat
digunakan untuk memudahkan perhitungan.
Perhatikan contoh berikut.
1. Menghitung 5 × 3 × 6
Cara 1:
5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3
= (5 × 6) × 3
= 30 × 3
= 90
Cara 2:
5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6
= 3 × (5 × 6)
= 3 × 30
= 90
2. Menghitung 8 × 45
Cara 1: menggunakan sifat distributif pada
penjumlahan
8 × 45 = 8 × (40 + 5)
= (8 × 40) + (8 × 5)
= 320 + 40
= 360
Cara 2: menggunakan sifat distributif pada
pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)
= (8 × 50) – (8 × 5)
= 400 – 40
= 360

Tidak ada komentar:

Posting Komentar